今日题目

• $|z_i| = 1$;
• $\sum_{i=1}^N z_i = 0$;
• 对于任意的非空真子集 $I \subseteq \{1, 2, \dots, N\}$, 有 $\sum_{i \in I} z_i \ne 0$;
• 若 $z_i$ 在复平面上的对应点为 $P_i$, 则 $P_1, \dots, P_N$ 正 边形的 个顶点.
• $z_i$ 的幅角 $\theta$ 满足 $\frac{\theta}{\pi} \in \mathbb Q$.

求 $N$ 的最小值, 以及当 $N$ 取最小值时所有可能的 $z_i$.

设多项式 $Q = X^4 - X + 1$. 证明: 只存在有限多个 $N$, 使得 $X^N \bmod Q$ 是缺项的.

每次操作可以选择一个编号 $a$，执行以下两种操作之一：

• 向编号为 $$a+1^2,\ a+2^2,\ \dots,\ a+\left(\frac{p-1}{2}\right)^2$$ 的盒子中各放入一枚棋子;
• 若编号为 $$a+1^2,\ a+2^2,\ \dots,\ a+\left(\frac{p-1}{2}\right)^2$$ 的盒子中都有至少一枚棋子, 则从这些编号的盒子中各取走一枚棋子.

已知: 初始时, $0$ 号盒子有 $m > 0$ 枚棋子, 其余盒子为空; 结束时, 除了 $1$ 号盒子以外的所有盒子为空, $1$ 号盒子有 $m'$ 枚棋子.

求正整数 $m$ 的最小值.